Exercices sur les vecteurs

Colinéarité — déterminant nul
\(\det(\vec{u},\vec{v}) = x_u \times y_v - x_v \times y_u = 0\)
Méthode : chercher un réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k\,\vec{v}\), c'est-à-dire \(\dfrac{x_u}{x_v} = \dfrac{y_u}{y_v}\)
Ex : \(\vec{u}\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\) → \(k = 2\) car \(\vec{u} = 2\,\vec{v}\) → colinéaires

Orthogonalité — produit scalaire nul
\(\vec{u}\cdot\vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v = 0\)
Ex : \(\vec{u}\begin{pmatrix}3\\-1\\0\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}\) → \(3\times1 + (-1)\times3 + 0 = 0\) → orthogonaux

Norme \(= \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}\)
Ex : \(A(1;2)\), \(B(4;6)\) → \(\sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} =\) 5

Relation de Chasles — le point intermédiaire se simplifie
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB}\)

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